बीजगणित — द्विघात, श्रेणियाँ, द्विपद, क्रमचय-संचय

काल्पनिक (अवास्तविक)

Algebra • Mathematics (TGT/PGT)

विषय	सूत्र
द्विघात ax²+bx+c=0 के मूल	x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
विविक्तकर D	b² − 4ac; D>0 भिन्न वास्तविक, D=0 बराबर, D<0 काल्पनिक मूल
मूलों का योग / गुणनफल	−b/a / c/a
समांतर श्रेणी (AP)	nवाँ पद a+(n−1)d; योग (n/2)[2a+(n−1)d]
गुणोत्तर श्रेणी (GP)	nवाँ पद arⁿ⁻¹; अनंत योग a/(1−r), जब ∣r∣<1
द्विपद (a+b)ⁿ	पद n+1; सामान्य पद Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
ⁿPᵣ और ⁿCᵣ	n!/(n−r)! और n!/[r!(n−r)!]

असमिका: समांतर माध्य ≥ गुणोत्तर माध्य ≥ हरात्मक माध्य (धनात्मक संख्याओं के लिए)। सम्मिश्र संख्या: i² = −1, i⁴ = 1।
आव्यूह: n×n आव्यूह A के लिए |kA| = kⁿ|A|; |AB| = |A||B|; व्युत्क्रम तभी जब |A| ≠ 0।

⚠️ जाल: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; अनंत GP का योग केवल |r|<1 पर।

❓ प्रश्न-उत्तर (12)

उत्तर: −b/a

द्विघात समीकरण के मूलों का योग? — −b/a

उत्तर: c/a

द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल? — c/a

उत्तर: काल्पनिक (अवास्तविक)

विविक्तकर D < 0 होने पर मूल? — काल्पनिक (अवास्तविक)

उत्तर: a + (n−1)d

AP का nवाँ पद? — a + (n−1)d

उत्तर: arⁿ⁻¹

GP का nवाँ पद? — arⁿ⁻¹

उत्तर: a/(1−r)

अनंत GP का योग (|r|<1)? — a/(1−r)

उत्तर: n + 1

(a+b)ⁿ के प्रसार में पदों की संख्या? — n + 1

उत्तर: n! / [r!(n−r)!]

ⁿCᵣ का सूत्र? — n! / [r!(n−r)!]

उत्तर: n! / (n−r)!

ⁿPᵣ का सूत्र? — n! / (n−r)!

उत्तर: 1

i⁴ का मान? — 1

उत्तर: kⁿ|A|

n×n आव्यूह के लिए |kA|? — kⁿ|A|

उत्तर: |A| ≠ 0

आव्यूह का व्युत्क्रम संभव जब? — |A| ≠ 0