आकृतियों की गिनती (त्रिभुज, वर्ग, आयत)

चित्र में त्रिभुज, वर्ग या आयत गिनना परीक्षा का पक्का प्रश्न है। आँख से गिनने में ग़लती होती है — सूत्र से गिनें।

📖 पाठ (विधि): आँख से गिनने के बजाय सूत्र लगाएँ। शीर्ष से रेखाएँ, आधार पर n खंड → n(n+1)/2 त्रिभुज। n × n जाली में वर्ग = 1² + 2² + … + n²। m × n जाली में आयत = C(m+1, 2) × C(n+1, 2)।

✏️ उदाहरण 1: त्रिभुज में शीर्ष से 2 रेखाएँ (आधार पर 3 खंड)। हल: 3 × 4/2 = 6 त्रिभुज।

✏️ उदाहरण 2: 3 × 3 जाली में वर्ग? हल: 9 + 4 + 1 = 14।

✏️ उदाहरण 3: 2 × 3 जाली में आयत? हल: C(3,2) × C(4,2) = 3 × 6 = 18।

• शीर्ष से रेखाएँ: आधार पर n खंड हों, तो त्रिभुज = n(n+1)/2। हर क्षैतिज रेखा एक नई "पंक्ति" जोड़ती है — कुल = n(n+1)/2 × (क्षैतिज रेखाएँ + 1)।
• n × n जाली में वर्ग = 1² + 2² + … + n² (जैसे 4×4 → 30)।
• m × n जाली में आयत = C(m+1, 2) × C(n+1, 2)।

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🧠 ट्रिक: "खंड × (खंड+1) ÷ 2" — 3 खंड = 6, 4 खंड = 10, 5 खंड = 15।