👨🎓 छात्र › 📐 गणित — TGT/PGT (सूत्र व अवधारणाएँ)
कलन — सीमा, अवकलन, समाकलन
Calculus • Mathematics (TGT/PGT)
📝 इस अध्याय का मुफ़्त टेस्ट दें| फलन f(x) | अवकलज f′(x) | समाकल ∫f(x)dx |
|---|---|---|
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ | xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1) |
| eˣ | eˣ | eˣ + C |
| ln x | 1/x | — |
| 1/x | −1/x² | ln∣x∣ + C |
| sin x | cos x | −cos x + C |
| cos x | −sin x | sin x + C |
| tan x | sec²x | — |
- मानक सीमाएँ: lim(x→0) sin x / x = 1; lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e; lim(x→0) (eˣ−1)/x = 1।
- नियम: गुणन (uv)′ = u′v + uv′; भागफल (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²; शृंखला नियम dy/dx = (dy/du)(du/dx)।
- उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ: f′(x)=0 और f″(x)<0 → उच्चिष्ठ; f″(x)>0 → निम्निष्ठ।
⚠️ जाल: d/dx(cos x) = −sin x (ऋण चिह्न); ∫(1/x)dx = ln|x|, सूत्र xⁿ⁺¹/(n+1) n=−1 पर लागू नहीं।
❓ प्रश्न-उत्तर (12)
1. d/dx (xⁿ)?
उत्तर: nxⁿ⁻¹
d/dx (xⁿ)? — nxⁿ⁻¹
2. d/dx (sin x)?
उत्तर: cos x
d/dx (sin x)? — cos x
3. d/dx (cos x)?
उत्तर: −sin x
d/dx (cos x)? — −sin x
4. d/dx (tan x)?
उत्तर: sec²x
d/dx (tan x)? — sec²x
5. d/dx (eˣ)?
उत्तर: eˣ
d/dx (eˣ)? — eˣ
6. d/dx (ln x)?
उत्तर: 1/x
d/dx (ln x)? — 1/x
7. ∫(1/x) dx?
उत्तर: ln|x| + C
∫(1/x) dx? — ln|x| + C
8. ∫xⁿ dx (n ≠ −1)?
उत्तर: xⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫xⁿ dx (n ≠ −1)? — xⁿ⁺¹/(n+1) + C
9. lim(x→0) sin x / x?
उत्तर: 1
lim(x→0) sin x / x? — 1
10. lim(x→0) (1+x)^(1/x)?
उत्तर: e
lim(x→0) (1+x)^(1/x)? — e
11. गुणन नियम (uv)′?
उत्तर: u′v + uv′
गुणन नियम (uv)′? — u′v + uv′
12. उच्चिष्ठ की शर्त?
उत्तर: f′(x)=0 और f″(x)<0
उच्चिष्ठ की शर्त? — f′(x)=0 और f″(x)<0
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